Question

設直線是曲線的一條切線，．
（Ⅰ）求切點坐標及的值；
（Ⅱ）當時，存在，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）切點，，切點， ．
（2）

試題分析：解：（Ⅰ）設直線與曲線相切于點，
,
, 解得或,  3分
當時，，在曲線上，∴,
當時，，在曲線上，∴,
切點，，       5分
切點， ．       7分
(Ⅱ)解法一：∵，∴，
設，
若存在，則只要， 10分 
，
(ⅰ)若即，令，得，
，∴在上是增函數，
令，解得，在上是減函數，
，,
解得， 12分
(ⅱ)若即，令，解得，
， ∴在上是增函數，
 ，不等式無解，不存在， 13分
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，實數的取值范圍為． 14分
解法二：由得, 
(ⅰ)當時，，設
若存在，則只要， 10分
，
令 解得在上是增函數，
令，解得 在上是減函數，
，，     12分
（ⅱ）當時，不等式 不成立，
∴不存在，  13分
綜合（ⅰ）（ⅱ）得，實數的取值范圍為． 14分
點評：主要是考查了導數在研究函數單調性中的運用，屬于基礎題。