Question

記公差d≠0的等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=2+

2

，S₃=12+3

2

．
（1）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n；
（2）記b_n=a_n-

2

，若自然數n₁，n₂，…，n_k，…滿足1≤n₁＜n₂＜…＜n_k＜…，并且b n1，b n2，…，b nk，…成等比數列，其中n₁=1，n₂=3，求n_k（用k表示）；
（3）試問：在數列{a_n}中是否存在三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t，r，s，t∈N^*）恰好成等比數列？若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由a₁=2+

2

，S₃=12+3

2

利用等差數列的前n項和公式列方程組求出公差，則數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n可求；
（2）由b_n=a_n-

2

=2n，再求出等比數列{bnk}的通項公式，由兩式相等求得求n_k；
（3）假設存在三項a_r，a_s，a_t成等比數列，則as2=ar•at，利用等差數列{a_n}的通項公式代入，得到矛盾的式子，從而得到結論．

解答：解：（1）因為a₁=2+

2

，S₃=3a₁+3d=12+3

2

，所以d=2．
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n+

2

，Sn=

n(a1+an)

2

=

n(2+ 2 +2n+ 2 )

2

=n2+(

2

+1)n；
（2）因為bn=an-

2

=2n，所以bnk=2n_k．
又因為數列{bnk}的首項bn1=b₁=2，
公比q=

bn2

bn1

=

3

1

=3，所以bnk=2•3k-1．
所以2n_k=2•3^k-1，即nk=3k-1．
（3）假設存在三項a_r，a_s，a_t成等比數列，則as2=ar•at，
即有(2s+

2

)2=(2r+

2

)(2t+

2

)，整理得(rt-s2)

2

=2s-r-t．
若rt-s²≠0，則

2

=

2s-r-t

rt-s2

，因為r，s，t∈N^*，所以

2s-r-t

rt-s2

是有理數，
這與

2

為無理數矛盾；
若rt-s²=0，則2s-r-t=0，從而可得r=s=t，這與r＜s＜t矛盾．
綜上可知，不存在滿足題意的三項a_r，a_s，a_t．

點評：本題考查了等差和等比數列的通項公式，考查了等差數列的前n項和公式，考查了學生靈活處理和解決問題的能力，解答此題的關鍵是等價代換，此題是中檔題．