Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的短軸長為2，離心率為

2

2

；拋物線C₂：y²=2px（p＞0）上一點（1，m ）到其焦點的距離為2．
（1）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（2）設直線l同時與橢圓C₁和拋物線C₂相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）根據橢圓的短軸長為2，離心率為

2

2

，求出幾何量，即可得到橢圓方程；利用拋物線C₂：y²=2px（p＞0）上一點（1，m ）到其焦點的距離為2，可求拋物線C₂的方程；
（2）分類討論，將直線與橢圓、雙曲線聯立，利用判別式，即可求得結論．

解答：解：（1）由2b=2，得b=1．                                  …（1分）
由

c

a

=

2

2

，得

a2-1

a2

=

1

2

，a2=2．                        …（2分）
∴橢圓C₁的方程是

x2

2

+y2=1．                              …（3分）
依題意有1+

p

2

=2，得p=2，…（4分）
∴拋物線C₂的方程是y²=4x．…（5分）
（2）①當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為x=n．
由直線l與橢圓C₁相切，可得n=±

2

；
由直線與拋物線C₂相切得n=0．
∴此時符合題設條件的直線l不存在．…（7分）
②當直線l的斜率存在時，設直線l：y=kx+n   …（8分）
當直線l與橢圓C₁相切時，聯立

x2 2 +y2=1 y=kx+n

，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-2=0，
由△1=(4kn)2-4(1+2k2)(2n2-2)=0，得n²=2k²+1，…（10分）
當直線l與拋物線C₂相切時，聯立

y2=4x y=kx+n

，得k²x²+2（kn-2）x+n²=0，
由△2=[2(kn-2)]2-4k2n2=0，得kn=1，…（12分）
聯立

n2=2k2+1 kn=1

，解得k=

2

2

，n=

2

或k=-

2

2

，n=-

2

．…（13分）
綜上，直線l的方程為y=±

2

2

(x+2)．…（14分）

點評：本題考查橢圓、拋物線的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．