Question

設函數f(x)=ax3+

3

2

(2a-1)x2-6x(a∈R)
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（-1，f（-1））處的切線方程；
（2）當a=

1

3

時，求f（x）的極大值和極小值；
（3）若函數f（x）在區間（-∞，-3）上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，利用導數的幾何意義，確定切線的斜率，求得切點坐標，即可得到切線方程；
（2）當a=

1

3

時，求導函數，確定函數的單調性，從而可得函數f（x）的極大值和極小值；
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2），分類討論，利用f（x）在（-∞，-3）上是增函數，即x＜-3時，f'（x）＞0恒成立，即可確定實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f(x)=x3+

3

2

x2-6x，f′(x)=3x2+3x-6…（2分）
∴k=f′(-1)=3-3-6=-6，f(-1)=

13

2

，
∴y-

13

2

=-6(x+1)
即12x+2y-1=0為所求切線方程．…（4分）
（2）當a=

1

3

時，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-6x，f′(x)=x2-x-6
令f'（x）=0得x=-2或x=3…（6分）
令f'（x）＞0可得x＜-2或x＞3；令f'（x）＜0可得-2＜x＜3
∴f（x）在（-∞，-2）遞增，在（-2，3）遞減，在（3，+∞）遞增
∴f（x）的極大值為f(-2)=

22

3

，f（x）的極小值為f(3)=-

27

2

…（8分）
（3）f'（x）=3ax²+3（2a-1）x-6=3（ax-1）（x+2）
①若a=0，則f(x)=-

3

2

x2-6x，∴函數在（-∞，-2）上單調遞增．
∴滿足要求．…（10分）
②若a≠0，則令f'（x）=0，得x1=-2，x2=

1

a

∵f（x）在（-∞，-3）上是增函數，即x＜-3時，f'（x）＞0恒成立，
a＞0時，x＜-3，f'（x）＞0恒成立，即a＞0符合題意…（11分）
a＜0時，不合題意．
綜上所述，實數a的取值范圍是[0，+∞）…（12分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查恒成立問題，正確求導，恰當分類是關鍵．