Question

已知三次函數在和時取極值，且．
（Ⅰ） 求函數的表達式；
（Ⅱ）求函數的單調區間和極值；
（Ⅲ）若函數在區間上的值域為，試求、n應滿足的條件。

Answer 1

（Ⅰ）．          （Ⅱ）函數在區間上是增函數；------------------7分
在區間上是減函數；在區間上是增函數．
函數的極大值是，極小值是．           
（Ⅲ）、n應滿足的條件是：，且

（Ⅰ），                                                                                      
由題意得，是的兩個根，
解得，．                                                                             ------------------2分
再由可得．
∴．                 ------------------4分
（Ⅱ），
當時，；當時，；------------------5分
當時，；當時，；------------------6分
當時，．∴函數在區間上是增函數；------------------7分
在區間上是減函數；在區間上是增函數．
函數的極大值是，極小值是．                                ------------------9分
（Ⅲ）函數的圖象是由的圖象向右平移個單位，向上平移4個單位得到，
所以，函數在區間上的值域為（）．-------------10分
而，∴，即．                                                                    
于是，函數在區間上的值域為．------------------12分
令得或．
由的單調性知，，即．
綜上所述，、應滿足的條件是：，且------------------14分