Question

直線l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒過定點C，圓C是以點C為圓心，以4為半徑的圓．
（1）求圓C的方程；
（2）設圓M的方程為（x-4-7cosθ）²+（y-7sinθ）²=1，過點M上任意一點P分別作圓C的兩條切線PE、PF，切點為E、F，求

CE

CF

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求直線系過的定點，可求圓的方程．
（2）設出∠ECF，求數量積的表達式，然后求PC的范圍，結合數量積，求其最值．

解答：解：（1）直線l：（m+1）x+2y-4m-4=0（m∈R）恒過定點C（4，0），半徑為4，圓C的方程：（x-4）²+y²=16．
（2）設∠ECF=2α
則

CE

•

CF

=|

CE

||

CF

|  COS2α=16COS2α=32cos^2_α-16，
在 Rt△PCE中，cosα=

r

|PC|

=

4

|PC|

由圓的幾何性質得|MC|-1≤|PC|≤|MC|+1，
∴6≤|PC|≤8
∴

1

2

≤cosα≤

2

3

，由此可得-8≤

CE

•

CF

≤ -

16

9

，
∴

CE

•

CF

的最大值為-

16

9

最小值為-8．

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，圓的標準方程，直線系過定點，考查轉化的數學思想，是難題．