Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，點A₁在底面ABC上的射影O恰是BC的中點．
（1）求證：A₁A⊥BC；
（2）當側棱AA₁和底面成45°角時，求二面角A₁-AC-B的余弦值．

Answer 1

解：（1）證明：連接AO，
A₁O⊥面ABC，AO是A₁A在面ABC的射影，∵AO⊥BC，
由三垂線定理，A₁A⊥BC．
（2）由（1）知，∠A₁AO為AA₁與底面所成的角，∴∠A₁AO=45°
∵底面是邊長為2的正三角形，∴AO=3
∴A₁O=3，AA₁=3
過O作OE⊥AC于E，連接A₁E，由三垂線定理得A₁E⊥AC，
∴∠A₁EO為二面角A₁-AC-B的平面角
∵OE=，∴tan∠A₁EO==2，
cos∠A₁EO=
即二面角A₁-AC-B的余弦值為．
分析：（1）根據三垂線定理證明線線垂直即可；
（2）利用三垂線定理作二面角的平面角，再解三角形求解．
點評：本題考查線面垂直的性質及二面角的平面角．可利用三垂線定作二面角的平面角．