Question

設函數，其中a為正實數．

(l)若x=0是函數的極值點，討論函數的單調性；

(2)若在上無最小值，且在上是單調增函數，求a的取值范

圍；并由此判斷曲線與曲線在交點個數．

 

Answer 1

【答案】

(1) 增區間為，減區間為；(2) ；0.

【解析】

試題分析：(1)先求出，根據已知“是函數的極值點”，得到，解得，將其代入，求得，結合函數的定義域，利用導數求函數的單調區間；(2)先研究函數在區間沒有極小值的情況：，當時，在區間上先減后增，有最小值；當時，在區間上是單調遞增的，沒有最小值.再研究函數在區間上是單調增函數：在上恒成立，解得.綜合兩種情況得到的取值范圍.根據可知，利用導數研究函數的單調性，得到在區間上的最小值是，與的取值范圍矛盾，所以兩曲線在區間上沒有交點.

試題解析：(1) 由得，                      2分

的定義域為：，                                       3分

 ，函數的增區間為，減區間為.       5分

（2），   

若則在上有最小值，

當時，在單調遞增無最小值.               7分

∵在上是單調增函數∴在上恒成立，

∴.                                        9分

綜上所述的取值范圍為.                      10分

此時，

即,

則 h(x)在 單減，單增，                13分

極小值為. 故兩曲線沒有公共點.                   14分

考點：1.函數求導；2.函數的單調性與導數的關系；3.解不等式；4.不等式的恒成立問題；5.方程的根與函數的零點的關系