Question

由于衛生的要求游泳池要經常換水（進一些干凈的水同時放掉一些臟水），游泳池的水深經常變化，已知泰州某浴場的水深y（米）是時間t（0≤t≤24），（單位小時）的函數，記作y=f（t），下表是某日各時的水深數據經長期觀測的曲線y=f（t）可近似地看成函數y=Acosωt+b

t（時）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	2 5	2 0	15	20	249	2	151	199	2 5

（Ⅰ）根據以上數據，求出函數y=Acosωt+b的最小正周期T，振幅A及函數表達式；
（Ⅱ）依據規定，當水深大于2米時才對游泳愛好者開放，請依據（1）的結論，判斷一天內的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供游泳愛好者進行運動．

Answer 1

分析：（1）由表中的周期可求ω，再利用兩個特殊點可求A=0.5，b=2，，所以可求函數表達式y=

1

2

cos

π

6

t+2．
（2）水深大于2米時才對游泳愛好者開放，

1

2

cos

π

6

t+2＞2，可得-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，，從而可求時間．

解答：解：（1）由表中數據，知T=12，ω=

2π

T

=

π

6

由t=0，y=2.5得A+b=2.5
由t=3，y=2，得b=2，所以，A=0.5，b=2振幅A=

1

2

，∴y=

1

2

cos

π

6

t+2…．（8分）
（2）由題意知，當y＞2時，才可對沖浪者開放，∴

1

2

cos

π

6

t+2＞2，cos

π

6

t＞0，∴-2kπ-

π

2

＜

π

6

t＜2kπ+

π

2

，
即有-12kπ-3＜t＜12kπ+3，由0≤t≤24，故可令k=0，1，2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21≤t≤24…1．（4分）
∴在規定時間內有6個小時可供游泳愛好者運動即上午9 00至下午15 00…．（15分）

點評：本題考查三角函數模型的運用，涉及不等式的求解，屬于中檔題．