Question

在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數f（x）=e^x（x＞0）的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先設切點坐標為（m，e^m），然后根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=m處的導數，從而求出切線的斜率，求出切線方程，從而求出點M的縱坐標，同理可求出點N的縱坐標，將t用m表示出來，最后借助導數的方法求出函數的最大值即可．

解答：解：設切點坐標為（m，e^m）
∴該圖象在點P處的切線l的方程為y-e^m=e^m（x-m）
令x=0，解得y=（1-m）e^m
過點P作l的垂線的切線方程為y-e^m=-e^-m（x-m）
令x=0，解得y=e^m+me^-m
∴線段MN的中點的縱坐標為t=

1

2

[（2-m）e^m+me^-m]
t'=

1

2

[-e^m+（2-m）e^m+e^-m-me^-m]，令t'=0解得：m=1
當m∈（0，1）時，t'＞0，當m∈（1，+∞）時，t'＜0
∴當m=1時t取最大值

1

2

(e+e-1)
故答案為：

1

2

(e+e-1)

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及利用導數研究函數的最值問題，屬于中檔題．