Question

探究函數f(x)=x2+

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x2

(x＞0)的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下，請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成以下的問題．

x	…	0.5	1	1.5	1.7	2	2.1	2.3	3	4	7	…
y	…	64.25	17	9.36	8.43	8	8.04	8.31	10.7	17	49.33	…

已知：函數f(x)=x2+

16

x2

(x＞0)在區間（0，2）上遞減，問：
（1）函數f(x)=x2+

16

x2

(x＞0)在區間

（2，+∞）

上遞增．當x=

2

時，y_最小=

4

．
（2）證明：函數f(x)=x2+

16

x2

(x＞0)在區間（0，2）遞減；
（3）思考：函數f(x)=x2+

16

x2

(x＜0)有最大值或最小值嗎？如有，是多少？此時x為何值？（直接回答結果，不需證明）

Answer 1

分析：（1）由圖表可知，函數的單調增區間為（2，+∞）；   當x=2時y_最小=4，由此得到答案．
（2）設 0＜x₁＜x₂ ＜2，化簡f（x₁）-f（x₂） 為

(x12-x22)(x12x22-16)

(x1x2)2

＞0，從而f（x₁）-f（x₂）＞0，
可得函數在（0，2）上為減函數．
（3）根據函數解析式可得，當x=-2時，函數y有最小值等于 8．

解答：解：（1）由圖表可知，函數的單調增區間為（2，+∞）；   當x=2時y_最小=4．
故答案為（2，+∞），2，4． …（4分）
（2）證明：設 0＜x₁＜x₂ ＜2，
∵f（x₁）-f（x₂）=x12+

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x12

-x22+

16

x22

=(x12-x22)(1-

16

(x1x2)2

)=

(x12-x22)(x12x22-16)

(x1x2)2

．
又∵0＜x₁＜x₂＜2，∴x12-x22＜0，又∵x₁，x₂∈（0，2），∴0＜(x1x2)2＜16，
∴(x1x2)2-16＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴函數在（0，2）上為減函數．…（9分）
（3）思考：y=x2+

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x2

，x∈(-∞，0)，當x=-2時，函數y有最小值等于 8．…（12分）

點評：本題主要考查函數的單調性的判斷和證明，函數的最值及其幾何意義，屬于中檔題．