Question

已知m∈R，對p：x₁和x₂是方程x²-ax-2=0的兩個根，不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，2]恒成立；q：函數f（x）=3x²+2mx+m+有兩個不同的零點．求使“p且q”為真命題的實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：利用二次方程的韋達定理求出|x₁-x₂|，將不等式恒成立轉化為求函數的最值，求出命題p為真命題時m的范圍；利用二次方程有兩個不等根判別式大于0，求出命題Q為真命題時m的范圍；p且q為真轉化為兩個命題全真，求出m的范圍．
解答：解：由題設x₁+x₂=a，x₁x₂=-2，
∴|x₁-x₂|==．
當a∈[1，2]時，的最小值為3．
要使|m-5|≤|x₁-x₂|對任意實數a∈[1，2]恒成立，只須|m-5|≤3，即2≤m≤8．
由已知，得f（x）=3x²+2mx+m+=0的判別式
△=4m²-12（m+）=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
綜上，要使“p且q”為真命題，只需P真Q真，即 ，
解得實數m的取值范圍是（4，8]．
點評：本題考查二次方程的韋達定理、二次方程有根的判斷、復合命題的真假與構成其簡單命題的真假的關系能及恒成立問題，屬于中檔題．