Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍；
（3）討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

(1)單調(diào)遞減函數(shù)；(2)；(3)當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn).當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).

試題分析：(1)先根據(jù)條件化簡函數(shù)式，根據(jù)常見函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)性運(yùn)算法則，作出單調(diào)性的判定，再用定義證明；(2)將題中所給不等式具體化，轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，通過參變分離化為，求出的最大值，則的范圍就是大于的最大值；(3)將函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)，再轉(zhuǎn)化為函數(shù)與交點(diǎn)個(gè)數(shù)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求解.
試題解析：（1）當(dāng)，且時(shí)，是單調(diào)遞減的
證明：設(shè)，則




又，所以，
所以
所以，即
故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減
（2）由得
變形為，即
而
當(dāng)即時(shí)
所以
（3）由可得，變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043913972749.png" style="vertical-align:middle;" />
令
作的圖像及直線

由圖像可得：
當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)或或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)
當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)．