Question

田忌和齊王賽馬是歷史上著名的故事．設齊王的三匹馬分別記為a₁，a₂，a₃，田忌的三匹馬分別記為b₁，b₂，b₃，三匹馬各比賽一場，勝兩場者獲勝．若這六匹馬比賽優劣程度可用不等式a₁＞b₁＞a₂＞b₂＞a₃＞b₃表示．
（Ⅰ）如果雙方均不知道比賽的對陣方式，求田忌獲勝的概率；
（Ⅱ）田忌為了得到更大的獲勝概率，預先派出探子到齊王處打探實情，得知齊王第一場必出上等馬，那么，田忌應該怎樣安排出馬順序，才能使自己獲勝的概率最大？最大概率是多少？

Answer 1

解：法一：記a_i與b_j的比賽為（a_i，b_j），（i，j=1，2，3）
（Ⅰ）齊王與田忌賽馬，有如下六種情況：
（a₁，b₁）、（a₂，b₂）、（a₃，b₃），（a₁，b₁）、（a₂，b₃）、
（a₃，b₂），（a₂，b₁）、（a₁，b₂）、（a₃，b₃），（a₂，b₁）、
（a₁，b₃）、（a₃，b₂），（a₃，b₁）、（a₁，b₂）、（a₂，b₃），
（a₃，b₁）、（a₁，b₃）、（a₂，b₂）． （3分）
其中田忌獲勝的只有一種（a₂，b₁）、（a₁，b₃）、（a₃，b₂），
所以田忌獲勝的概率為．（6分）
（Ⅱ）已知齊王第一場必出上等馬a₁，若田忌第一場出上等馬b₁或中等馬b₂，則剩下兩場中至少輸掉一場，這時田忌必敗．
為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬b₃，后兩場有兩種情形：
①若齊王第二場派出中等馬a₂，可能對陣情形是（a₂，b₁）、（a₃，b₂）或者（a₂，b₂）、（a₃，b₁），所以田忌獲勝的概率為；（9分）
②若齊王第二場派出下等馬a₃，可能對陣情形是（a₃，b₁）、（a₂，b₂）或者（a₃，b₂）、（a₂，b₁），所以田忌獲勝的概率為，
所以田忌按b₃，b₁，b₂或者b₃，b₂，b₁的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．（12分）
法二：各種對陣情況列成下列表格：
（3分）
（Ⅰ）其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，所以田忌獲勝的概率為．（6分）
（Ⅱ）為了使自己獲勝的概率最大，田忌第一場應出下等馬b₃，
即只能是第五、第六兩種情形． （9分）
其中田忌獲勝的只有第五種這一種情形，
所以田忌按b₃，b₁，b₂或者b₃，b₂，b₁的順序出馬，才能使自己獲勝的概率達到最大值．（12分）
分析：方法一：用列舉法，根據題意，記a_i與b_j的比賽為（a_i，b_j），
（Ⅰ）列舉比賽的可能情況，根據題意，查找可得田忌獲勝的情況數目，由古典概型的公式，計算可得答案；
（Ⅱ）根據題意，在（Ⅰ）列舉的情況中，查找，分2種情況討論后兩場有兩種情形，進而可得答案；
方法二：用列表法，根據題意，將各種比賽的情況用表格表示出來；
（Ⅰ）由所列的表格，查找可得田忌獲勝的情況數目，進而計算可得答案；
（Ⅱ）由所列的表格，結合古典概型的概率的計算公式，易得答案．
點評：本題考查列舉法計算概率以及概率的應用，因涉及列舉法，解題列舉時，務必做到不重不漏，有時可以借助排列、組合來驗證所列舉的情況數目，提高解題的準確度．