Question

已知函數f（x）=x³-mx+5，x∈R，在x=

+ -

2

處取得極值．
（Ⅰ）過點A（1，0）作曲線y=f（x）的切線，求切線方程．
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出f'（x），因為函數在x=±

2

處取得極值，即得到f'（

2

）=f'（-

2

）=0，代入求出m得到函數解析式，然后判斷點A（1，0）不在曲線上，設切點為M（x₀，y₀），分別代入導函數和函數中寫出切線方程，因為A點在切線上，把A坐標代入求出切點坐標即可求出切線方程．
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=a有3個不同實根，則y=f（x）圖象與y=a圖象必有3個不同的交點，a應該介于函數的極小值與極大值之間．

解答：解：（I）f'（x）=3x²-m，依
題意，f'（

2

）=f'（-

2

）=0，
即 3（

2

）²-m=0解得m=6．
∴f（x）=x³-6x+5，曲線方程為y=x³-6x+5，設切點為M（x₀，y₀），
則點M的坐標滿足y₀=x₀³-6x₀+5．因f'（x₀）=3（x₀²-2），
故切線的方程為y-y₀=3（x₀²-2）（x-x₀）
注意到點A（1，0）在切線上，有0-（x₀³-6x₀+5）=3（x₀²-2）（1-x₀）
解得x₀=1或x₀=-

1

2

．
所以，切點為M（1，0），此時切線方程為y=-3x+3；
或切點為M（-

1

2

，

63

8

），此時切線方程為y=-

21

4

x+

21

4

；
（II）對函數f（x）=x³-6x+5求導，得函數f′（x）=3x²-6
令f′（x）＞0，即3x²-6＞0，解得x＞

2

，或x＜-

2

f′（x）＜0，即3x²-6＜0，解得-

2

＜x＜

2

f′（x）=0，即3x²-6=0，解得x=

2

，或x=-

2

，
f（-

2

）=5+4

2

，f（

2

）=5-4

2

，
∴f（x）的單調遞增區間是（-∞，-

2

）及（

2

，+∞），單調遞減區間是（-

2

，

2

）
當x=-

2

，f（x）有極大值5+4

2

；當x=

2

，f（x）有極小值5-4

2

當5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f（x）的圖象有3個不同交點，此時方程f（x）=a有3個不同實根．
∴實數a的取值范圍為（5-4

2

，5+4

2

）．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，以及利用導數研究曲線上某點的切線方程的能力，屬于中檔題．