Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足f（2-x）=f（x），當x∈[0，1]時，f(x)=

x

．又g(x)=cos

πx

2

，則集合{x|f（x）=g（x）}等于（　　）

• A．{x|x=4k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• B．{x|x=2k+

  1

  2

  ，k∈Z}
• C．{x|x=4k±

  1

  2

  ，k∈Z}
• D．{x|x=2k+1，k∈Z}

Answer 1

分析：利用條件判斷出函數f（x）的周期，然后利用兩個函數在同一坐標系下的圖象關系確定方程的解集．

解答：解：由f（2-x）=f（x），得函數f（x）圖象關于直線x=1對稱，
又函數f（x）是奇函數，所以f（2-x）=f（x）=-f（x-2），所以f（x+4）=f（x），即函數f（x）的周期為4．
函數g（x）的周期也為4，
由作出兩個函數的圖象，在[-1，3]一個周期內，f（x）=g（x）的值有兩個．
因為f（

1

2

）=

1 2

=

2

2

，且g（

1

2

）=cos

π

4

=

2

2

，所以交點的橫坐標為

1

2

，同時
f（

5

2

）=f（2-

5

2

）=f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=-

2

2

．且g（

5

2

）=cos

5π

4

=-

2

2

，所以交點的橫坐標為

5

2

．
即在一個周期內方程的f（x）=g（x）的解為x=

1

2

或

5

2

．
故在整個定義域內有x=4m+

1

2

=2（2m）+

1

2

，或x=4m+

5

2

=2（2m）+2+

1

2

=2（2m+1）+

1

2

，
即x=2k+

1

2

，k∈Z．
故選B．

點評：本題主要考查函數性質的綜合應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．