Question

設F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，若

PF12

PF2

的最小值恰是實軸長的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是

（1，3]

．

Answer 1

分析：設|PF₂|=t，則由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，推出

P  F 2 1

PF2

的關系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出離心率的范圍．

解答：解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a．
設|PF₂|=t，則|PF₁|=2a+t，
所以

P  F 2 1

PF2

=

4a2+4at+t2

t

=

4a2

t

+t+4a≥2

4a2 t ×t

+4a=8a，
當且僅當 t=2a時，等號成立．
因為P為雙曲線右支上任一點，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=

c

a

≤3．
又因為 e＞1，
所以e的范圍為 （1，3]．
故答案為：（1，3]．

點評：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，并且考查基本不等式的應用，此題能夠正確利用 t≥c-a 是解題的關鍵．