Question

已知函數(shù)且

（Ⅰ）試用含的代數(shù)式表示；

（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）令，設函數(shù)在處取得極值，記點，證明：線段與曲線存在異于、的公共點；

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

【解析】

試題分析：解法一：（Ⅰ）依題意，得

由得

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

故

令，則或

①當時，

當變化時，與的變化情況如下表：

	+	—	+
	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

由此得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

②由時，，此時，恒成立，且僅在處，故函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為R

③當時，，同理可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

綜上：

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為R；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

（Ⅲ）當時，得

由，得

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為

所以函數(shù)在處取得極值。

故

所以直線的方程為

由得

令

易得，而的圖像在內(nèi)是一條連續(xù)不斷的曲線，

故在內(nèi)存在零點，這表明線段與曲線有異于的公共點

解法二：

（Ⅲ）當時，得，由，得

由（Ⅱ）得的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，所以函數(shù)在處取得極值，

故

所以直線的方程為

由得

解得

所以線段與曲線有異于的公共點。

考點：本題考查了導數(shù)的運用

點評：本題是在知識的交匯點處命題，將函數(shù)、導數(shù)、不等式、方程的知識融合在一起進行考查，重點考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識．導數(shù)題目是高考的必考題，且常考常新，但是無論如何少不了對基礎知識的考查，因此備考中要強化基礎題的訓練．