Question

設F₁，F₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點，若雙曲線的右支上存在一點P，使

PF1

•

PF2

=0，且△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．5

Answer 1

分析：由已知可得，PF₁＞PF₂，PF₁⊥PF₂，由△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂，結合雙曲線的定義，PF₁=PF₂+2a，利用勾股定理可得PF12+PF22=F1F22，代入可求

解答：解：由P為雙曲線的右支上一點可知，PF₁＞PF₂
∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF₁⊥PF₂
∴F₁F₂＞PF₁＞PF₂
由△F₁PF₂的三邊長構成等差數列，可得2PF₁=F₁F₂+PF₂=2c+PF₂①
又由雙曲線的定義可知，PF₁-PF₂=2a即PF₁=PF₂+2a②
①②聯立可得，PF₂=2a-4a，PF₁=2c-2a
∵

PF1

•

PF2

=0
∴PF12+PF22=F1F22即（2c-4a）²+（2c-2a）²=4c²
整理可得，c²-6ac+5a²=0
∵c＞a
∴c=5a
∴e=5
故選D

點評：本題主要考查了雙曲線的定義及性質在求解雙曲線方程中的應用，解題的關鍵是確定等差數列的中間項．