Question

已知圓F的方程是x²+y²-2y=0，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)是圓心F，過F引傾斜角為α的直線l，l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點(diǎn)（在直線l上，這四個點(diǎn)從左至右依次為A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，則α的值為（ ）
A．±arctan
B．
C．a(chǎn)rctan
D．a(chǎn)rctan或π-arctan

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是圓心F，求出p，進(jìn)而求出拋物線的解析式；據(jù)|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列，求出AD的長度，A、D兩點(diǎn)是拋物線和直線的交點(diǎn)，聯(lián)立拋物線和直線，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求出結(jié)果．
解答：解：∵圓Fx²+y²-2y=0 即x²+（y-1）²=1
∴F（0，1），r=1
∵拋物線以F點(diǎn)為焦點(diǎn)=1
∴拋物線方程為：x²=4y
過F點(diǎn)的直線與拋物線相交于A、D兩點(diǎn)，
BC為圓F的直徑|BC|=2
∵|AB|，|BC|，|CD|成等差數(shù)列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直線l過F（0，1）則設(shè)直線解析式為：y=kx+1
A、D兩點(diǎn)是過F點(diǎn)的直線與拋物線交點(diǎn)
設(shè)A（x₁，y₁）D（x₂，y₂）則|AD|==6
聯(lián)立y=kx+1和x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4  x₁+x₂=4k
∴|AD|=====6
∴1+k²=
∴k=±
∴α的值為：arctan或π-arctan
故選D．
點(diǎn)評：本題主要綜合考查直線與圓、拋物線以及數(shù)列的相關(guān)知識，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)間的距離公式；同時注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決此類問題．