Question

【題目】如圖，已知多面體的底面是邊長為2的菱形，平面，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若直線與平面所成的角為45°，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接交于點，取的中點，連接，，由中位線定理，和空間中平行的傳遞性可證四邊形為平行四邊形，即，由已知線面垂直和菱形證得平面，所以平面，再由面面垂直的判定定理得證；

（2）由直線與平面所成的角為45°求得AP，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，有空間坐標表示法表示點P,C,E,D,B,進而求得平面和平面的法向量，由向量的數量積求夾角的公式求得，法向量的夾角，觀察已知圖形為銳二面角，作答即可.

（1）證明：如圖，連接交于點，取的中點，連接，，

∵分別是的中點，

∴，且，

∵，且，

∴,且，

∴四邊形為平行四邊形，∴.

∵平面，平面，

∴，

又是菱形，，，

∴平面，∴平面，

又平面，

∴平面平面.

（2）由直線與平面所成的角為45°知，，∴，

∴為等邊三角形.設的中點為，則.

如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，

，，，，

設為平面的法向量，

則即令，可得即.

設為平面的法向量，

則即令，可得，

所以，

故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.