Question

已知α∈R且α＜0，設函數f（x）=ax²+x-3alnx．
（I）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=-1時，證明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

（I）由f（x）=ax²+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-

3a

x

=

2ax2+x-3a

x

（x＞0）．
 令f′（x）=0解得x1=

-1- 1+24a2

4a

，x2=

-1+ 1+24a2

4a

（舍）．
列表如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	增函數		減函數

故f（x）的單調遞增區間為（0，

-1- 1+24a2

4a

）、遞減區間為（

-1- 1+24a2

4a

，+∞）
（II）證明：f（x）的定義域為（0，+∞），a=-1時，f（x）=x-x²+3lnx
設g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx．
則g′(x)=-1-2x+

3

x

=-

(x-1)(2x+3)

x

．
當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
而g（1）=0，故當x＞0時，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．