Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1，（a為實常數）
（1）若a=1，將f（x）寫出分段函數的形式，并畫出簡圖，指出其單調遞減區間；
（2）設f（x）在區間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據絕對值的含義，取絕對值符號寫出函數的分段形式；
（2）根據二次函數的對稱軸方程與區間位置，分類討論求最小值g（a）的解析式．

解答：解：（1）a=1，f（x）=x²-|x|+1=

x2-x+1，(x≥0) x2+x+1，(x＜0)

f（x）的單調遞減區間為(-∞，-

1

2

]和[0，

1

2

]；
（2）當a=0時，x∈[1，2]，f（x）=-x-1，在[1，2]上單調遞減，
∴當x=2時，f_min（x）=-3
當a＞0時，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

（ⅰ）當0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，此時f（x）在[1，2]上單調遞增，∴x=1時，f_min（x）=3a-2
（ⅱ）當1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，當x=

1

2a

時，fmin(x)=2a-1-

1

4a

（ⅲ）當

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，此時f（x）在[1，2]上單調遞減，∴x=2時f_min（x）=6a-3
當a＜0時，x∈[1，2]，f(x)=ax2-x+2a-1=a(x-

1

2a

)2+2a-1-

1

4a

，此時f（x）在[1，2]上單調遞減，∴x=2時f_min（x）=6a-3
綜上：g(a)=

3a-2，a＞ 1 2 2a-1- 1 4a ， 1 4 ≤a≤ 1 2 6a-3，a＜ 1 4

點評：本題主要考查分段函數的概念，絕對值的概念，二次函數的圖象和性質．分段函數求單調區間和最值問題．從解法看，思路比較明確，但操作上易于出錯．
（2）涉及求閉區間上二次函數的最值問題，注意討論對稱軸與區間的相對位置，確定得到最值的不同表達式．