Question

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數：
①sin²13°＋cos²17°－sin 13°cos 17°；
②sin²15°＋cos²15°－sin 15°cos 15°；
③sin²18°＋cos²12°－sin 18°cos 12°；
④sin²(－18°)＋cos²48°－sin(－18°)cos 48°；
⑤sin²(－25°)＋cos²55°－sin(－25°)cos 55°.
(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數；
(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，并證明你的結論．

Answer 1

（1）（2）見解析

方法一：(1)選擇②式，計算如下：
sin²15°＋cos²15°－sin 15°cos 15°＝1－ sin 30°＝1－ ＝.
(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .
證明如下：
sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin²α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)²－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin²α＋cos²α＋ sin αcos α＋sin²α－sin αcos α－sin²α＝sin²α＋cos²α＝.
方法二：(1)同方法一．
(2)三角恒等式為sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝ .
證明如下：
sin²α＋cos²(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝ －sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝ － cos 2α＋ ＋  (cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－ sin αcos α－ sin²α
＝ － cos 2α＋＋ cos 2α＋ sin 2α－ sin 2α－  (1－cos 2α)
＝1－cos 2α－ ＋ cos 2α＝