Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+b，且f（4）=﹣3．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，且關(guān)于x的方程f（x）=log2m在區(qū)間[﹣3，3]上有解，求m的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上遞減，∴ ，解得a≤4，

又f（4）=﹣3，∴b=﹣4a+13，

∵a≤4，∴b≥﹣3

（2）解：∵ 解得

∴f（x）=﹣x2+2x+5=﹣（x﹣1）2+6，x∈[﹣3，3]，

∴f（x）min=f（﹣3）=﹣10，f（x）max=f（1）=6，

∴f（x）在[﹣3，3]上的值域?yàn)閇﹣10，6]，

∴l(xiāng)og2m∈[﹣10，6]，即m∈[2﹣10，26]，

∴m的最大值為26=64

【解析】（1）利用函數(shù)值以及對(duì)稱軸與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，列出不等式求解即可．（2）利用對(duì)稱軸以及函數(shù)值，求出a，b，利用二次函數(shù)的閉區(qū)間上的最值，求解即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．