Question

設an=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

用數學歸納法證明：a₁+a₂+…+a_n-1=na_n-n，其中n≥2且n∈N^*．

Answer 1

分析：用數學歸納法證明的步驟證明，驗證n=1時等式成立，然后假設n=k（k≥2，k∈N^*）時，等式成立，證明n=k+1時等式也成立即可．

解答：證明：
（1）當n=1時，等式左邊=a₁=1，右邊=2an-2=2×1

1

2

-2=1，等式成立．
（2）假設當n=k（k≥2，k∈N^*）等式也成立，即a₁+a₂+…+a_k-1=ka_k-k
當n=k+1時，a₁+a₂+…+a_k-1+a_k=（ka_k-k）+a_k=（k+1）a_k-k=(k+1)(ak+1-

1

k+1

)-k=(k+1)ak+1-(k+1)，等式仍成立．
由（1）、（2）可知，對任意的n≥2，n∈N^*，原等式均成立．

點評：本題是中檔題，考查數學歸納法的證明步驟和方法，注意證明n=k+1時，必須用上假設，這是易錯點．