Question

【題目】把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設容器的高為,容積為．

（1）寫出函數的解析式，并求出函數的定義域；

（2）求當為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），定義域為．（Ⅱ）容器高為時，容器的容積最大為.

【解析】

試題（Ⅰ）根據容器的高為x，求得做成的正三棱柱形容器的底邊長，從而可得函數V（x）的解析式，函數的定義域；（Ⅱ）實際問題歸結為求函數V（x）在區間上的最大值點，先求V（x）的極值點，再確定極大值就是最大值即可

試題解析：（Ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三棱柱形容器的底邊長為

則.

函數的定義域為.

（Ⅱ）實際問題歸結為求函數在區間上的最大值點.

先求的極值點.

在開區間內，

令，即令，解得.

因為在區間內，可能是極值點. 當時，；

當時，.

因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，

所以是的最大值點，并且最大值

即當正三棱柱形容器高為時，容器的容積最大為.