Question

在R上定義的連續偶函數f（x）滿足f（x）=f（2-x），在區間[1，2]上單調，且f（0）•f（1）＜0，則函數f（x）在區間[0，2 010]上的零點的個數是

 

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Answer 1

分析：利用函數的奇偶性、單調性、周期性、函數零點的判定定理即可得出．

解答：解：由題意可得f（-x）=f（x）=f（2-x），∴f（x）是以2為周期的函數，且其圖象關于直線x=1對稱．

∵f（0）•f（1）＜0，∴函數f（x）在區間（0，1）上存在零點；

∵f（x）在區間[1，2]上單調，∴在區間（0，1）上也單調，因此函數f（x）在區間（0，1）上存在唯一零點．

綜上可知：函數f（x）在區間[0，2]上有且僅有兩個零點；

又f（x）是以2為周期的函數，函數f（x）在區間[0，2 010]上的零點的個數是2010．

故答案為2010．

點評：熟練掌握函數的奇偶性、單調性、周期性、函數零點的判定定理是解題的關鍵．