Question

已知二次函數f（x）滿足：①當x=1時有極值；②圖象與y軸交點的縱坐標為﹣3，且在該點處的切線與直線x=2y﹣4垂直．
（1）求f（1）的值；
（2）若函數g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a²﹣a﹣2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（I）-4；（II）0≤a≤1．

解析試題分析：（1）由已知可利用待定系數法，首先設二次函數f（x）的解析式為：f（x）=ax²+bx+c，，結合已知的兩個條件及導數的幾何意義，求出f（x）的表達式，從而可求f（1）的值；
（2）首先求出g（x）的表達式，利用導數求出切線斜率，結合一元二次不等式的解法即可得到結論．
試題解析：（1）設二次函數f（x）=ax²+bx+c，
∵x=1時有極值，∴對稱軸為1，即，
由②知f（0）=c=-3，在（0，-3）處的切線斜率，
又在該點處的切線與直線x=2y-4垂直，故b=-2，
解得a=1，則f（x）=x²-2x-3，
則f（1）=-4；
（2）若函數g（x）=f（lnx）=（lnx）²-2lnx-3，
令t=lnx，
則∵x∈（1，+∞），∴t∈（0，+∞），
∴f（t）=t2-2t-3，f′（t）=2t-2＞-2，
若函數g（x）=f（lnx），x∈（1，+∞）上任意一點處的切線斜率恒大于a²-a-2，
則f′（t）＞a2-a-2恒成立，即a2-a-2≤-2，
即a2-a≤0，解得0≤a≤1．
考點：１．二次函數的圖象和性質；2．導數的幾何意義．