Question

19、為贏得2010年廣州亞運會的商機，某商家最近進行了新科技產品的市場分析，調查顯示，新產品每件成本9萬元，售價為30萬元，每星期賣出432件，如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數與商品單價的降低值0≤x≤30（單位：萬元，0≤x≤30）的平方成正比，已知商品單價降低2萬元時，一星期多賣出24件．
（1）將一個星期的商品銷售利潤表示成f（x）的函數；
（2）如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？

Answer 1

分析：（1）一個星期的商品銷售利潤=（每件商品售價-降低價-成本價）×賣出數量，依此建立函數關系式；
（2）由（1）知，f（x）是一元三次函數，求它在閉區間上的最值，要用求導法．

解答：解：（1）設商品降價x萬元，則多賣的商品數為kx²，
若記商品在一個星期的獲利為f（x），
則依題意，有f（x）=（30-x-9）（432+kx²）=（21-x）（432+kx²），
又，由已知條件：24=k•2²，得 k=6，
所以，f（x）=-6x³+126x²-432x+9072，x∈[0，30]．
（2）根據（1），得 f'（x）=-18x²+252x-432=-18（x-2）（x-12）
作出以下表格：

x	[0，2）	2	（2，12）	12	（12，30]
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小	↗	極大	↘

所以，當x=12時，f（x）達到極大值．因為f（0）=9072，f（12）=11264，
即定價為 30-12=18萬元時，能使一個星期的商品銷售利潤最大．

點評：本題考查了由函數模型建立目標函數，利用求導法求三次函數在閉區間上的最值問題，是中檔題．