Question

已知三條直線l₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₂：-4x+2y+1=0和直線l₃：x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是

7

10

5

．
（1）求a的值；
（2）求l₃到l₁的角θ；
（3）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的

1

2

；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是

2

：

5

？若能，求P點坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是兩條平行直線間的距離、線線夾角及點到直線的距離公式，
（1）由l₁與l₂的距離是

7

10

5

，我們代入兩條平行直線間的距離公式，可得一個關于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）由已知中l₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₃：x+y-1=0，我們易得到直線l₃及l₁的斜率，代入tanθ=|

k1-k3

1+k1•k3

|，即可得到l₃到l₁的角θ；
（3）設P（x₀，y₀），由點到直線距離公式，我們可得到一個關于x₀，y₀的方程組，解方程組即可得到滿足條件的點的坐標．

解答：解：（1）l₂即2x-y-

1

2

=0，
∴l₁與l₂的距離d=

|a-(- 1 2 )|

22+(-1)2

=

7 5

10

．
∴

|a+ 1 2 |

5

=

7 5

10

．∴|a+

1

2

|=

7

2

．
∵a＞0，∴a=3．
（2）由（1），l₁即2x-y+3=0，∴k₁=2．而l₃的斜率k₃=-1，
∴tanθ=

k1-k3

1+k1•k3

=

2-(-1)

1+2(-1)

=-3．
∵0≤θ＜π，∴θ=π-arctan3．
（3）設點P（x₀，y₀），若P點滿足條件②，
則P點在與l₁、l₂平行的直線l′：2x-y+C=0上，
且

|C-3|

5

=

1

2

|C+ 1 2 |

5

，即C=

13

2

或C=

11

6

，
∴2x₀-y₀+

13

2

=0或2x₀-y₀+

11

6

=0；
若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，
有

|2x0-y0+3|

5

=

2

5

|x0+y0-1|

2

，
即|2x₀-y₀+3|=|x₀+y₀-1|，
∴x₀-2y₀+4=0或3x₀+2=0．
由P在第一象限，∴3x₀+2=0不可能．
聯立方程2x₀-y₀+

13

2

=0和x₀-2y₀+4=0，應舍去．解得x₀=-3，y₀=

1

2

，
由2x₀-y₀+

11

6

=0，x₀-2y₀+4=0，
解得x₀=

1

9

，y₀=

37

18

．
∴P（

1

9

，

37

18

）即為同時滿足三個條件的點．

點評：（1）線線間距離公式只適用兩條平行直線，且要將直線方程均化為A、B值相等的一般方程．
（2）線線夾角只能為不大于90°的解，故tanθ=|

k1-k3

1+k1•k3

|．