Question

【題目】已知橢圓的左,右焦點分別是,,離心率為,直線被橢圓C截得的線段長為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過點且斜率為k的直線l交橢圓C于A,B兩點,交x軸于P點,點A關于x軸的對稱點為M,直線BM交x軸于Q點.求證:(O為坐標原點)為常數.

Answer 1

【答案】(1);(2)證明見解析.

【解析】

（1）由題意可得點在橢圓上,代入橢圓方程可得，再利用橢圓的離心率，，求出即可求解.

（2）設直線l的方程為,點P的坐標為，設,,則,根據題意求出點坐標，聯立，利用韋達定理將點坐標用表示即可證出.

設橢圓C的焦距為,則,

由直線被橢圓C截得的線段長為可知,點在橢圓上,

從而.結合,可解得,.

故橢圓C的方程為.

(2)依題意,直線l的方程為,則P的坐標為.

設,,則,

直線BM的方程為,令,

得Q點的橫坐標為.①

又由,得,

,

得,

代入①得,

得,所以為常數4.