Question

16、已知f（x）是偶函數，且在[a，b]上是減函數，試判斷f（x）在[-b，-a]上的單調性，并給出證明．

Answer 1

分析：利用作差法我們可以任取區間上滿足-b≤x₁＜x₂≤-a的兩個實數，再根據函數f（x）是偶函數，且在[a，b]上是減函數，易判斷函數f（x）在[-b，-a]上的單調性．

解答：解：任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且-b≤x₁＜x₂≤-a
則a≤-x₂＜-x₁≤b
又∵f（x）在[a，b]上是減函數，
∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是偶函數，
∴f（-x₂）=f（x₂），f（-x₁）=f（x₁）
∴f（x₂）＞f（x₁）
即f（x）在[-b，-a]上單調遞增

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性與單調性的綜合，利用做差法證明函數的單調性是最基本最常用的方法，但對于抽象函數單調性的判斷和證明則要多利用函數奇偶性圖象對稱的性質進行處理．