Question

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，且在x軸上的頂點(diǎn)分別為

（1）求橢圓方程；

（2）若直線：與軸交于點(diǎn)T，P為上異于T的任一點(diǎn)，直線分別與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

【答案】

（1）     （2）見(jiàn)解析

【解析】(1)由e和a的值，可求出a,c進(jìn)而求出b,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程確定.

（2）設(shè),直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立解方程組可得

M的坐標(biāo)，同理由直線的方程可求出N的坐標(biāo).可求出MN的方程，再令y=0，得直線MN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)它與右焦點(diǎn)坐標(biāo)為重合，可求出t值，若滿足t>2,則存在，否則不存在

（1）由已知橢圓C的離心率，可得

橢圓的方程為

（2）設(shè)，直線斜率為

則直線的方程為

由，解得

點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

同理，設(shè)直線的斜率為    則點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

由直線與直線的交點(diǎn)在直線上

又，，

又的方程為      令，得

即直線MN與軸交點(diǎn)為       又

又橢圓右焦點(diǎn)為，故當(dāng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)