Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的極值；

（2）討論函數的單調性；

（3）若對，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）對函數進行求導、列表、判斷函數的單調性，最后根據函數極值的定義進行求解即可；

（2）對函數進行求導，根據實數的正負性，分類討論判斷導函數的正負性，進行判斷單調性即可；

（3）對進行常變量分離，然后構造新函數，對新函數進行求導，判斷其單調性，進而求出新函數的最值，最后根據題意求出的取值范圍即可.

解：（1）.令，得.

	正	0	負
	單調增大	極大值	單調減少

所以在上單調遞增，上單調遞減，

所以函數的極大值為：，無極小值；

（2），

當時，，∴在單調遞增，

當時，若，，∴在單調遞增；

若，，∴在單調遞減；

綜上，當時，在單調遞增；當時，在單調遞增，在單調遞減.

（3）對，恒成立，對，恒成立，令，.

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減，

所以，因此.