Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0，
（Ⅰ）若過定點(diǎn)（-2，0）的直線l與圓C相切，求直線l的方程；
（Ⅱ）若過定點(diǎn)（-1，0）且傾斜角為

π

6

的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（I）圓C：（x-1）²+（y+2）²=9．得到圓心C（1，-2），半徑r=3．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線x=-2與⊙C相切，因此直線x=-2是圓的一條切線；
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)切線方程為y=k（x+2），則圓心C到切線l的距離d=r．
∴

|k+2+2k

1+k2

=3，解得k=

5

12

．
∴切線l的方程為y=

5

12

（x+2），即5x-12y+10=0．
綜上可知：切線l的方程為x=-2或5x-12y+10=0．
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
過定點(diǎn)（-1，0）且傾斜角為

π

6

的直線l方程為y=

3

3

（x+1）．
代入圓方程可化為4x²+（4

3

-4）x+4

3

-11=0，
∴x₁+x₂=1-

3

，
∴x_P=

x1+x2

2

=

1- 3

2

，y_P=

3

3

（

1- 3

2

+1）=

3 -1

2

．
∴P（

1- 3

2

，

3 -1

2

）．