Question

對數列{x_n}，滿足x1=

4

5

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

；對函數f（x）在（-2，2）上有意義，f(

1

2

)=-2，且滿足x，y∈（-2，2）時，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，則數列{f（x_n）}是（　　）

• A、以-4為首項以2為公差的等差數列
• B、以-4為首項以2為公比的等比數列
• C、既是等差數列又是等比數列
• D、既不是等差數列又不是等比數列

Answer 1

分析：本題考查函數特殊值法、等比數列的概念及判定方法．由x，y∈（-2，2）時，有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)成立，f(

1

2

)=-2，根據x1=

4

5

，我們可以求出f(x1)=f(

4

5

)的值，及

f(xn+1)

f(xn)

為一常數，則不難判斷數列{f（x_n）}為一等比數列．

解答：解：由x1=

4

5

，結合已知可得0＜xn+1=

2xn

1+ x 2 n

=

2

1 xn +xn

≤1；
又f(

4

5

)=f(

1

2

)+f(

1

2

)=2f(

1

2

)=-4，
且f(xn+1)=f(

2xn

1+ x 2 n

)=f(

xn+xn

1+ x 2 n

)=f（x_n）+f（x_n）=2f（x_n），
于是

f(xn+1)

f(xn)

=2，
即{f（x_n）}是以-4為首項，以2為公比的等比數列．
故選B

點評：要判斷一個數列是否為等差（比）數列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數列連續兩項之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項法，判斷是否每一項都是其前一項與后一項的等差（比）中項；③通項公式法，判斷其通項公式是否為一次（指數）型函數；④前n項和公式法．