Question

【題目】已知定點，定直線： ，動圓過點，且與直線相切.

（Ⅰ）求動圓的圓心軌跡的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線相交于， 兩點，分別過點， 作曲線的切線， ，兩條切線相交于點，求外接圓面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設，由化簡即可得結論；（Ⅱ）由題意的外接圓直徑是線段，設： ，與 聯立得，從而得， 時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

試題解析：（Ⅰ）設點到直線的距離為，依題意.

設，則有 .

化簡得.

所以點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）設： ，

代入中，得.

設， ，

則， .

所以 .

因為： ，即，所以.

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因為，

所以，即為直角三角形.

所以的外接圓的圓心為線段的中點，線段是直徑.

因為，

所以當時線段最短，最短長度為4，此時圓的面積最小，最小面積為.

【方法點晴】本題主要考查直接法求軌跡方程、點到直線的距離公式及三角形面積公式，屬于難題.求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設出動點的坐標，根據題意列出關于的等式即可；②定義法，根據題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數法，把分別用第三個變量表示，消去參數即可；④逆代法，將代入.本題（Ⅰ）就是利用方法①求圓心軌跡方程的.