Question

 [2012·陜西卷] 直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AA₁，∠CAB＝.

(1)證明：CB₁⊥BA₁；

(2)已知AB＝2，BC＝，求三棱錐C₁－ABA₁的體積．

圖1－7

Answer 1

解：(1)證明：如圖，連結AB₁，

∵ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱，∠CAB＝，

∴AC⊥平面ABB₁A₁，故AC⊥BA₁.

又∵AB＝AA₁，∴四邊形ABB₁A₁是正方形，

∴BA₁⊥AB₁，又CA∩AB₁＝A.

∴BA₁⊥平面CAB₁，故CB₁⊥BA₁.

(2)∵AB＝AA₁＝2，BC＝，∴AC＝A₁C₁＝1，

由(1)知，A₁C₁⊥平面ABA₁，

∴VC₁－ABA₁＝S△ABA₁·A₁C₁＝×2×1＝.