Question

【題目】[選修4一4:坐標系與參數方程]已知直線l過原點且傾斜角為， ，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C 的極坐標方程為psin =4cos.

(I)寫出直線l的極坐標方程和曲線C 的直角坐標方程;

(Ⅱ)已知直線l過原點且與直線l相互垂直,若lC=-M,lC=N,其中M,N不與原點重合，求△OMN 面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）=,y=4x.（2）16

【解析】試題分析：（1）根據極角定義得直線l的極坐標方程，根據將曲線C 的極坐標方程化為直角坐標方程;（2）先確定直線極坐標方程,代入求得，根據面積公式可得S，最后根據三角函數有界性求最小值.

試題解析：解:(I)依題意,直線l的極坐標方程為= (≠, ∈R)

曲線C: Sin =4cos,sin =4cos,直角坐標方程為y=4x.

(Ⅱ)把θ=代入sin =4cos,得=.

可知直線l的極坐標方程為=+ (∈R)

代入sin =4cos,得cos =-4sin,所以=-,

S△=|OM|·|ON|=2||·||=≥16,(當且僅當=時,取“=”)

即△OMN面積的最小值為16.