Question

【題目】已知橢圓E： 過點 ，離心率為 ，點F1 ， F2分別為其左、右焦點．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點P，Q，且 ？若存在，求出該圓的方程，并求|PQ|的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：e= ，a2﹣b2=c2，

且 + =1，

解得 ，a=2，b=1，

所以橢圓E方程為

（2）解：假設滿足條件的圓存在，其方程為：x2+y2=r2（0＜r＜1）．

當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+m，

由 得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4=0，

令P（x1，y1），Q（x2，y2），

可得 ， ，

∵ ，∴x1x2+y1y2=0

∴ ，

∴5m2=4k2+4，

由直線PQ與圓相切，則 ，

所以存在圓 ．

當直線PQ的斜率不存在時，也適合 ．

綜上所述，存在圓心在原點的圓 滿足題意．

由弦長公式可得：

= = ，

又 ，代入上式可得： ，

令4k2+1=t，即 ，

則 ，

當 時，即 時， ，

當直線l的斜率k不存在時， ，

所以

【解析】（1）運用橢圓的離心率公式和A在橢圓上，滿足橢圓方程，解方程即可得到所求橢圓的方程；（2）假設滿足條件的圓存在，其方程為：x2+y2=r2（0＜r＜1）．當直線PQ的斜率存在時，設直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，運用韋達定理，由 ，可得x1x2+y1y2=0，代入化簡整理，再由直線和圓相切的條件，即可得到滿足條件的圓存在；運用弦長公式，化簡整理，由二次函數的最值的求法，即可得到所求最大值．