Question

已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的體積最大（柱體體積=底面積高）時，其高的值為（   ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

本題在空間幾何體、導數的應用交匯處命制，解題的關鍵是建立正六棱柱體積的函數關系式。考生如果對選修系列四的《不等式選講》較為熟悉的話，求函數的條件可以使用三個正數的均值不等式進行，
即，等號成立的條件是，即。根據正六棱柱和球的對稱性，球心必然是正六棱柱上下底面中心連線的中點，作出軸截面即可得到正六棱柱的底面邊長、高和球的半徑的關系，在這個關系下求函數取得最值的條件即可求出所要求的量。
解：以正六棱柱的最大對角面作截面，如圖。設球心為，正六棱柱的上下底面中心分別為，則是的中點。設正六棱柱的底面邊長為，高為，則。正六棱柱的體積為，即，則，得極值點，不難知道這個極值點是極大值點，也是最大值點。故當正六棱柱的體積最大，其高為。