Question

（本小題14分）如圖所示,在四棱錐中,底面為矩形,側棱底面,為的中點.
(1)求直線與所成角的余弦值;
(2)在側面內找一點,使平面，并分別求出點到和的距離.

Answer 1

解 方法一 （1）建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A、B、C、D、P、E的坐標為A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、
E(0，，1)，從而=（，1，0），=（，0，-2）.
設與的夾角為，則cos===，
∴AC與PB所成角的余弦值為……………………………………7分
（2）由于N點在側面PAB內，故可設N點坐標為（x,0,z）,則=（-x，，1-z），由NE⊥平面PAC可得
，即,化簡得,∴ 
即N點的坐標為（，0，1），
從而N點到AB、AP的距離分別為1，…………………14分
方法二 （1）設AC∩BD=O，
連接OE，AE，BD，則OE∥PB，

∴∠EOA即為AC與PB所成的角或其補角.
在△AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，
∴由余弦定理得cos∠EOA=,
即AC與PB所成角的余弦值為.
(2)在平面ABCD內過D作AC的垂線交AB于F,則∠ADF=.連接PF,則在Rt△ADF中,DF==,AF=AD·tan∠ADF=.
設N為PF的中點，連接NE，則NE∥DF.
∵DF⊥AC，DF⊥PA，
∴DF⊥平面PAC，從而NE⊥平面PAC.
∴N點到AB的距離為AP=1，N點到AP的距離為AF=.

略