Question

（本題滿分10分）已知函數,()，若同時滿足以下條件：
①在D上單調遞減或單調遞增
② 存在區間[]D,使在[]上的值域是[]，那么稱()為閉函數。
（1）求閉函數符合條件②的區間[]；
（2）判斷函數是不是閉函數？若是請找出區間[]；若不是請說明理由；
（3）若是閉函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

解：（1）在R上單減，所以區間[]滿足
解得
（2）易知在上單調遞增.設滿足條件B的區間為，則方程組
有解，即方程至少有兩個不同的解
也即方程有兩個都不小于的不等根.
得，即位所求.
另解：
(1)易知函數是減函數,則有  ,解得,
(2)取特值說明即可，不是閉函數.
(3)由函數是閉函數,易知函數是增函數,則在區間上函數的值域也是,說明函數圖像與直線有兩個不同交點,令,則有
 =,(令) ,如圖

則直線若有兩個交點，則有

略