Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=CC₁=2．
（1）證明：AB₁⊥BC₁；
（2）求點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離；
（3）求二面角C₁-AB₁-A₁的大小．

Answer 1

分析：（1）以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，CC₁為X，Y，Z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，分別求出AB₁與BC₁的方向向量，代入數(shù)量積公式，得到其數(shù)量積為0，即可得到AB₁⊥BC₁；
（2）求出平面AB₁C₁的一個法向量，則AB的方向向量，代入到公式d=

| AB • n1 |

| n1 |

，即可求出
點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離；
（3）結(jié)合（2）的結(jié)合，再求出平面AB₁A₁的一個法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C₁-AB₁-A₁的大小．

解答：證明：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，其為C為坐標(biāo)原點(diǎn)，
題意A（2，0，0），B（0，2，0），A₁（2，0，2），B₁（0，2，2），C₁（0，0，2）．
∵

AB1

•

BC1

=(-2，2，2)•(0，-2，2)=0，∴

AB1

⊥

BC1

∴AB₁⊥BC₁
解：（2）設(shè)

n1

=(x1，y1，z1)是平面AB1C1的一個法向量，
由

n1

•

AB1

=0，

n1

•

AC1

=0得

-x1+y1+z1=0 -x1+z1=0

所以

y1=0 x1=z1.

令z1=1，

n1

=(1，0，1)
∵

AB

=(-2，2，0)，∴點(diǎn)B到平面AB₁C₁的距離d=

| AB • n1 |

| n1 |

=

2

．
（3）解設(shè)

n2

=(x2，y2，z2)是平面A₁AB₁的一個法向量
由

n2

•

AB

=0，

n2

•

AA1

=0，得

-x2+y2=0 z2=0.

∴

x2=y2 z2=0.

令y2=1，則

n2

=(1，1，0)
∵cos＜

n1

•

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

2

，
∴二面角C₁-AB-A₁的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是二面角的平面角及求法，點(diǎn)到面的距離，異面直線的夾角，其中建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為向量夾角及向量長度問題是解答本題的關(guān)鍵．