Question

（2006•嘉定區二模）如圖，已知點F（1，0），點M在x軸上，點N在y軸上，且

NM

•

NF

=0，點R滿足

NM

+

NR

=

0

．
（1）求動點R的軌跡C的方程；
（2）過點A（-1，0）作斜率為k的直線l交軌跡C于P、Q兩點，且∠PFQ為鈍角，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出R點的坐標，把M和N的坐標用R的坐標表示，求出向量

NM

，

NF

的坐標，由數量積為0化簡整理即可得到答案；
（2）設出直線l的方程，和（1）中的曲線方程聯立后化為關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系求出P，Q
兩點的縱坐標的和與積，代入

FP

•

FQ

＜0的坐標表示列式求解直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，N是MR的中點，設R（x，y），則M（-x，0），N(0，

y

2

)，
∴

NM

={-x，-

y

2

}，

NF

={1，-

y

2

}，
由

NM

•

NF

=0，得-x+

y2

4

=0，即y²=4x
∴動點R的軌跡方程為y²=4x；
（2）直線l的方程為y=k（x+1），由

y=k(x+1) y2=4x

，得ky²-4y+4k=0
△=16-16k²＞0，-1＜k＜1，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

4

k

，y₁y₂=4
由∠PFQ為鈍角，可得

FP

•

FQ

＜0，

FP

={x1-1，y1}，

FQ

={x2-1，y2}，于是（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂＜0，
即(

y 2 1

4

-1)(

y 2 2

4

-1)+y1y2＜0，

(y1y2)2

16

-

y 2 1 + y 2 2

4

+1+y1y2＜0，
6-

( y   1 +y2)2-2y1y2

4

＜0，
6-

16 k2 -8

4

＜0，解得0＜k2＜

1

2

∴直線l的斜率k的取值范圍是(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)．

點評：本題考查了與直線有關的動點的軌跡方程，考查了利用平面向量數量積解決有關問題，訓練了一元二次方程的根與系數的關系，是有一定難度題目．