Question

選修4-4：極坐標與參數方程
已知直線l經過點M₀（2，-3），傾斜角為

π

4

．以直角坐標系的坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標有程是ρ=2cosθ一4s1nθ．
（1）求直線l的參數方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求M₀到A，B兩點的距離之和．

Answer 1

分析：（1）由已知條件根據參數方程的意義即可寫出；
（2）先將曲線C的極坐標方程化為普通方程，再把直線的參數方程代入曲線C的方程，根據參數的幾何意義即可得出．

解答：解：（1）∵直線l經過點M₀（2，-3），傾斜角為

π

4

，∴直線l的參數方程為

x=2+tsin π 4 y=-3+tcos π 4

即為

x=2+ 2 2 t y=-3+ 2 2 t

（t為參數）；
（2）由曲線C的極坐標方程ρ=2cosθ-4sinθ，得ρ²=2ρcosθ-4ρsinθ，
化為直角坐標方程：x²+y²=2x-4y，
把直線l的參數方程代入上述圓的方程得(2+

2 t

2

)2+(-3+

2 t

2

)2=2×(2+

2 t

2

)-4×(-3+

2 t

2

)，
整理為t²-3=0，解得t=±

3

．
由參數t的幾何意義可得：
|M₀A|+|M₀B|=|AB|=|t1-t2|=2

3

．

點評：熟練掌握直線的參數方程、極坐標方程與普通方程的互化公式，正確理解參數的幾何意義是解題的關鍵．