Question

如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=

π

4

，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點．
（Ⅰ）求異面直線AB與MD所成角的大小；
（Ⅱ）求平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）作AP⊥CD于點P，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，求出

AB

與

MD

，然后利用向量的夾角公式求出所求即可；
（Ⅱ）先求平面OCD的法向量與平面OAB的一個法向量，然后利用向量的夾角公式求出平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值．

解答：解：作AP⊥CD于點P，如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標系，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，

2

2

，0)，D(-

2

2

，

2

2

，0)，
O（0，0，2），M（0，0，1）
（Ⅰ）設AB與MD所成的角為θ，
∵

AB

=(1，0，0)，

MD

=(-

2

2

，

2

2

，-1)，
∴cosθ=

| AB • MD |

| AB |•| MD |

=

1

2

，∴θ=

π

3

，
∴AB與MD所成角的大小為

π

3

（5分）
（Ⅱ）∵

OP

=(0，

2

2

，-2)，

OD

=(-

2

2

，

2

2

，-2)，
∴設平面OCD的法向量為

n

1=(x，y，z)，
則

n

1•

OP

=0，

n1

•

OD

=0，即

2 2 y-2z=0 - 2 2 x+ 2 2 y-2z=0

，
取z=

2

，解得

n

1=(0，4，

2

)．（6分）
易知平面OAB的一個法向量為

n2

=(0，1，0)（7分）
cos＜

n

1，

n2

＞=

n 1. n2

| n 1|| n 2|

=

2 2

3

．（9分）
由圖形知，平面OAB與平面OCD所成的二面角的余弦值為

2 2

3

（10分）

點評：本小題主要考查直線與平面所成角、二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．