Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數在區間上單調遞減，試探究函數在區間上的單調性；

（2）證明：方程在上有且僅有兩解.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減.（2）見解析

【解析】

（1）對求導，，再對求導，可得遞減區間，可得的取值范圍，可得函數在區間上的單調性；

（2）令，因為，可令，對其求導，可得的單調性和零點，記正零點為，可得的性質及的表達式，將滿足的條件代入，綜合分析可得證明.

解：（1）依題意，，由，

故函數的遞減區間為；而當時，

故若函數在區間上單調遞減，

函數在區間上也是單調遞減.

（2）令，

因為，由得，

令，則，

因為，且，所以必有兩個異號的零點，記正零點為，

則時，，單調遞減；時，，單調遞增，若在上恰有兩個零點，則，

由得，

所以，又因為的對稱軸為，

所以，

所以，所以，

又，

設中的較大數為，則，

故當時，方程在上有且僅有兩解.