Question

將圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移得到圓O，直線l和圓O相交于A、B兩點，若在圓O上存在點C，使

OC

+

OA

+

OB

=

0

，且

OC

=λ

a

．
（1）求λ的值；
（2）求弦AB的長；
（3）求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：概率與統計

分析：（1）圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移，得到圓O：x²+y²=2，半徑r=

2

．由此能求出λ=±1．
（2）取AB中點D，連結OD，由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，得

OC

=-2

OD

，由OD⊥AB，由此能求出AB．
（3）當λ=1時，

OC

=

a

=（1，-1），設D點坐標為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(-

1

2

，

1

2

)，由此能求出AB的方程為x-y-1=0．

解答： 解：（1）圓x²+y²+2x-2y=0按向量

a

=（1，-1）平移，
得到圓O：x²+y²=2，所以半徑r=

2

．
∵|

OC

|=|λ

a

|=

2

，
即|λ||

a

|=

2

，∴λ=±1．
（2）取AB中點D，連結OD，
∵

OA

+

OB

=2

OD

，
由

OA

+

OB

+

OC

=

0

，
得

OC

=-2

OD

，
∴|

OD

|=

1

2

|

OC

|=

2

2

，
又∵OD⊥AB，∴AB=2

OA2-OD2

=

6

2

．
（3）當λ=1時，

OC

=

a

=（1，-1），
設D點坐標為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(-

1

2

，

1

2

)，
又∵直線AB的斜率k_AB=-

1

kOD

=1．AB的方程為x-y+1=0．
當λ=-1時，

OC

=-

a

=（-1，1），
設D點坐標為（x，y），則

OD

=(x，y)=-

1

2

OC

=(

1

2

，-

1

2

)，
又∵直線AB的斜率k_AB=-

1

kOD

=1．
AB的方程為x-y-1=0．

點評：本題考查λ的值、弦AB的長和直線l的方程的求法，是中檔題，解題時要注意直線方程性質的合理運用．